Processo de Poisson não-homogêneo

Imagine que você estivesse fazendo um experimento de contagem de fótons, e que na média, por intervalo de tempo de integração, obtivesse 1.533 fótons.
Qual é a probabilidade de se obter 3 integrações consecutivas com zero contagens? Simples de calcular, basta usar a fórmula de Poisson, dá 1%.

No primeiro jogo da rodada #31 do Brasileirão série A, tivemos ontem o terceiro zero consecutivo do Palmeiras. Que análise podemos fazer a respeito?
Em primeiro lugar, precisamos notar que esse tipo de sequência já aconteceu com outros times. Atlético-PR, Avaí, Corinthians, Fluminense, Internacional, Náutico (além de uma sequência de 5 jogos com zero gols) e Vitória. Portanto, oito times dos vinte que competem no campeonato.

Não é preciso ser muito perspicaz para ver que pela média aritmética de gols simplesmente, o número de ocorrências é muito grande. No caso do Inter, por exemplo, o número é gritante. Com uma média aritmética de 1.767 gols/partida, a probabilidade de se ter uma sequência de 3 jogos sem marcar é de 0.5% apenas.

Nas palavras de Tom Loredo, durante nosso curso de Astroestatística, nesse caso, deve estar ocorrendo um processo poissônico não-homogêneo, em outras palavras, a taxa média dos eventos em questão deve ser variável.

Podemos testar essa hipótese? Sim! Um teste simples pode ser feito da seguinte maneira. O nosso programa de simulação do torneio busca a solução de máxima verossimilhança para a *média instantânea* de gols de cada time, a cada rodada, e nós podemos examiná-la para recalcular a probabilidade da sequência de 3 zeros.

Vejamos o que acontece em alguns dos casos mencionados. O Corinthians, por exemplo, teve a sequência de zeros nas rodadas 16, 17 e 18. A média "instantânea" de gols nas rodadas 15, 16 e 17, de acordo com o programa, era de 0.612, 0.522 e 0.538 gols/partida. Esses números fazem com que a chance de se obter 3 partidas consecutivas sem marcar gols aumente para 19%, o que comparado aos 2% que se obteria com a média aritmética é muito diferente. Mesmo os casos do Avaí e Internacional, que apresentam valores elevados da média aritmética (1.567 e 1.767, respectivamente) passam a ter chances da ordem de 6% de obter tais sequências.

No caso do Palmeiras, as médias instantâneas indicam que a sequência de 3 partidas sem gols tinha chance de 10% de ocorrer. Esperemos que a sequência termine por aí.

O prognóstico para o resultado final, levando em conta esse resultado, fica assim:

As colunas mostram o time, a média instantânea de gols, a chance (%) de ser o campeão, de ir para a libertadores, sulamericana, e de ser rebaixado. A situação melhorou muito para Inter e Atlético-MG, e mesmo Flamengo e Goiás passam a ter chances não desprezíveis de chegar lá. Na zona do rebaixamento, nada mudou.